Fundamentos matemáticos

 A continuación se presenta las bases matemáticas para comprender la naturaleza matemática del análisis de velocidad en mecanismos.

 

Movimiento de rotación.

Cuando una partícula se mueve alrededor de un punto con movimiento de rotación, entonces la magnitud de su posición no cambia con respecto al tiempo, pero la dirección si cambia, es por eso que para obtener la ecuación de velocidad se deriva con respeto al tiempo solamente el vector direccionador, es decir:

donde ω

 es la velocidad angular en rad/seg, entonces la velocidad lineal de una partícula en rotación conocida como velocidad tangencial VT se define como VT=ωr

, por lo tanto;

Nota

La velocidad lineal de una partícula que se encuentra en rotación alrededor de un punto, se le conoce como velocidad tangencial, cuya magnitud es VT=ωr

 y la dirección según denota λθ→′

, es perpendicular al radio de giro en el sentido a donde se dirige el sentido de la velocidad angular.

La nota 2 se puede ejemplificar mediante un gráfico mostrado en la Figura 2

Figura 2. Dirección de la velocidad tangencial.

Movimiento de traslación rectilínea.

Cuando una partícula se mueve en línea recta, como las partículas de una corredera, entonces la componente vectorial que produce cambio es la magnitud, no así la dirección que permanece constante; por lo tanto, la velocidad del movimiento de rotación queda expresada como:

V→=VLλθ→

La ecuación anterior establece que cualquier partícula de un elemento con movimiento rectilíneo tiene una velocidad llamada velocidad rectilínea o lineal VT cuya magnitud es un dato proporcionado o desconocido, es decir, no se puede obtener por medio de una fórmula, el vector direccionado nos indica que dicha velocidad es paralela a la línea del deslizamiento tal y como se muestra en la Figura 3.

                                       Figura 3. Dirección de la velocidad rectilínea

Nota 3

En un elemento con movimeinto de traslación rectilínea, todas las partículas de dicho elemento experimentarán la misma velocidad en magnitud y dirección conocida como velocidad rectilínea, cuya dirección es paralela a la línea de deslizamiento

Movimiento plano general: Ecuación de puntos de la misma barra.

Considere el sólido rígido y la representación vectorial de la posición de dos puntos cualesquiera P y Q como se muestra en la Figura 4

 

En la Figura 4 se puede apreciar dos vectores absolutos de posición rQ

  y rP

, mientras que el vector rP/Q

 se le conoce como vector relativo y denota la posición de P vista desde Q. La ecuación vectorial que relaciona estos tres vectores queda expresada como:

NOTA

Se puede concluir que un cuerpo con movimiento plano general como el de la Figura 4, dos de cualesquiera de sus partículas pueden presentar cualquier tipo de movimiento, pero la trayectoria relativa de dos puntos de los mismos, como P vista desde Q, SIEMPRE es circular, ya que la distancia entre ellos permanece constante mientras la dirección entre ellos puede cambiar

Si se deriva la ecuación de posición de puntos de la misma barra con respecto al tiempo, entonces se tiene la ecuación de velocidad expresada como:

Note como a la velocidad relativa P vista desde Q se le puede asignar SIEMPRE el término de velocidad tangencia, ya que como se explico en la NOTA 4, este vector de posición tiene un movimiento de rotación, por lo tanto:

Movimiento de traslación y rotación: Ecuación de puntos coincidentes.

Existen algunos elementos como los collarines, los cuales están presentes en los mecanismo de deslizamiento, donde dicho elemento además de tener movimiento de traslación rectilínea, tine un movimiento de rotación alrededor de un punto. Para estos casos es notable que la velocidad total es la suma de la velocidad tangencial y la velocidad rectilínea, es decir

Figura 5. Dirección de velocidad con movimiento de rotación y traslación.